Để chứng minh MD là đường tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. MD vuông góc với AO.
2. MD đi qua trung điểm của cung DE không chứa điểm A.

Bước 1: Chứng minh MD vuông góc với AO.
Gọi I là giao điểm của MD và AO.
Ta cần chứng minh AI vuông góc với MD.
Vì M là trung điểm của AH, nên AM cắt BC tại điểm trung điểm của BC, gọi là N.
Vì M là trung điểm của AH, nên MN song song với BC.
Vì MN song song với BC, nên theo định lí Thales, ta có:
$\frac{AN}{NF}=\frac{AM}{MH}$
Vì AM = MH (do M là trung điểm của AH), nên ta có:
$\frac{AN}{NF}=1$
Do đó, AN = NF.
Vậy, N là trung điểm của AF.
Vì N là trung điểm của AF, nên theo định lí Thales, ta có:
$\frac{AI}{IO}=\frac{AN}{NO}=1$
Do đó, AI = IO.
Vậy, AI vuông góc với MD.

Bước 2: Chứng minh MD đi qua trung điểm của cung DE không chứa điểm A.
Gọi P là giao điểm của MD và đường tròn (O).
Ta cần chứng minh P là trung điểm của cung DE không chứa điểm A.
Vì MD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo định lí tiếp tuyến - tiếp tuyến, ta có:
$\angle MPO = \angle MDO$
Vì MD vuông góc với AO (đã chứng minh ở bước 1), nên ta có:
$\angle MDO = \angle ODA$
Vì OD là đường kính của đường tròn (O), nên ta có:
$\angle ODA = 90^\circ$
Do đó, $\angle MPO = 90^\circ$.
Vậy, P nằm trên đường tròn có đường kính DE.
Vì MD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên P là điểm tiếp xúc của MD và đường tròn (O).
Vậy, P là trung điểm của cung DE không chứa điểm A.

Từ hai điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng MD là đường tiếp tuyến của đường tròn (O).