Cho m, n là 2 số tự nhiên thỏa mãn m-n là một số lẻ và m, n là 2 số nguyên tố cùng nhau

Giả sử m+n và m^2+n^2 không nguyên tố cùng nhau. Khi đó, tồn tại một số nguyên tố p sao cho p là ước chung của cả m+n và m^2+n^2.

Ta có:
m^2+n^2 = (m+n)^2 - 2mn

Vì p là ước chung của cả m+n và m^2+n^2, nên p cũng là ước chung của (m+n)^2 - 2mn.

Vì p là ước chung của m+n, nên p cũng là ước chung của (m+n)^2.

Vì p là ước chung của (m+n)^2 - 2mn và (m+n)^2, nên p cũng là ước chung của 2mn.

Vì m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ước chung lớn nhất của m và n là 1. Do đó, ước chung lớn nhất của 2mn là 1.

Vậy, p là ước chung của (m+n)^2 và 2mn.

Từ đó, suy ra p cũng là ước chung của (m+n)^2 + 2mn.

Vậy, p là ước chung của (m+n)^2 + 2mn và (m+n)^2 - 2mn.

Tuy nhiên, ta có:
(m+n)^2 + 2mn = m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2

Vậy, p là ước chung của (m+n)^2 và (m+n)^2 - 2mn.

Do đó, p là ước chung của (m+n)^2 và m^2 + n^2.

Tuy nhiên, m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn.

Vậy, p là ước chung của (m+n)^2 và (m+n)^2 - 2mn.

Từ đó, suy ra p là ước chung của 2mn.

Vì ước chung lớn nhất của 2mn là 1, nên p = 1.

Vậy, m+n và m^2+n^2 nguyên tố cùng nhau.