Y= (m/3)x^3 - 2mx^2 + (3m+5)x nghịch biến trên R

Để xác định hàm số y = (m/3)x^3 - 2mx^2 + (3m+5)x có nghịch biến trên R hay không, ta cần xem xét đạo hàm của hàm số này.

Đạo hàm của hàm số y theo x là:
y' = (m/3)(3x^2) - 2m(2x) + (3m+5)
= mx^2 - 4mx + (3m+5)

Để hàm số y có nghịch biến trên R, ta cần xét điều kiện: y' < 0 với mọi x thuộc R.

Vậy ta có bất đẳng thức: mx^2 - 4mx + (3m+5) < 0

Để giải bất đẳng thức này, ta cần xác định điều kiện để đa thức bậc 2 mx^2 - 4mx + (3m+5) có nghiệm.

Để đa thức bậc 2 có nghiệm, ta có điều kiện: Δ = b^2 - 4ac ≥ 0

Áp dụng vào đa thức mx^2 - 4mx + (3m+5), ta có:
Δ = (-4m)^2 - 4m(3m+5) ≥ 0
= 16m^2 - 12m^2 - 20m ≥ 0
= 4m^2 - 20m ≥ 0
= 4m(m - 5) ≥ 0

Để bất đẳng thức này đúng, ta cần xét 2 trường hợp:
1. Khi m > 5: Điều kiện này đảm bảo bất đẳng thức 4m(m - 5) ≥ 0 đúng với mọi m > 5.
2. Khi m ≤ 5: Điều kiện này đảm bảo bất đẳng thức 4m(m - 5) ≥ 0 đúng với mọi m ≤ 5.

Vậy, để hàm số y = (m/3)x^3 - 2mx^2 + (3m+5)x có nghịch biến trên R, ta cần xét 2 trường hợp:
1. Khi m > 5
2. Khi m ≤ 5