Để chứng minh M là trung điểm của BN và MC, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường thẳng IK, ta có:
$\frac{BI}{IC} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{AK}{KB} = 1$

Vì I, K lần lượt là đối xứng của H qua AB và AC, nên ta có:
$\frac{BI}{IC} = \frac{BH}{HC} = \frac{AH}{HC}$ (1)
$\frac{AK}{KB} = \frac{AH}{HB}$ (2)

Thay (1) và (2) vào định lí Menelaus, ta có:
$\frac{AH}{HC} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{AH}{HB} = 1$

Từ đó suy ra:
$\frac{CM}{MA} = \frac{HB}{AH} = \frac{MB}{MA}$

Vậy M là trung điểm của BN và MC.

Tiếp theo, ta chứng minh AH, EF đồng quy.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường thẳng IH, ta có:
$\frac{BI}{IC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AH}{HB} = 1$

Vì I, K lần lượt là đối xứng của H qua AB và AC, nên ta có:
$\frac{BI}{IC} = \frac{BH}{HC} = \frac{AH}{HC}$ (3)
$\frac{CE}{EA} = \frac{CH}{HA}$ (4)

Thay (3) và (4) vào định lí Menelaus, ta có:
$\frac{AH}{HC} \cdot \frac{CH}{HA} \cdot \frac{AH}{HB} = 1$

Từ đó suy ra:
$\frac{CH}{HA} = \frac{HB}{AH} = \frac{EF}{EA}$

Vậy AH, EF đồng quy.

Như vậy, ta đã chứng minh M là trung điểm của BN và MC, và AH, EF đồng quy.