a) Ta có HD // AC và AH là đường cao của tam giác ABC, suy ra AH = HD.
Tương tự, ta có HP // AB và AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, suy ra AM = MP.
Do đó, ta có:
AH = HD
AM = MP
Vậy, ta có tứ giác AHDP là hình bình hành.
Do đó, AH = DP.

b) Ta có AH = DP (vừa chứng minh ở câu a).
Vì AH // DP và AH = DP, nên tam giác AHP và DAP là hai tam giác đồng dạng.
Suy ra, góc AHP = góc DAP.
Nhưng góc AHP = góc MAC (do HP // AB) và góc DAP = góc MCA (do AH // AC).
Vậy, góc MAC = góc MCA.
Do đó, tam giác MAC là tam giác cân.

c) Ta có AH = DP (vừa chứng minh ở câu a).
Vì AH // DP và AH = DP, nên tam giác AHP và DAP là hai tam giác đồng dạng.
Suy ra, góc AHP = góc DAP.
Nhưng góc AHP = góc MAC (do HP // AB) và góc DAP = góc MCA (do AH // AC).
Vậy, góc MAC = góc MCA.
Do đó, tam giác MAC là tam giác cân.
Vì tam giác MAC là tam giác cân, nên góc MCA = góc MAC = 45 độ.
Suy ra, tam giác APN là tam giác vuông tại N.