Cho tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác

a) Tứ giác BDIG là hình bình hành. Vì ID || AB và IG || BC (do I là giao điểm của ba đường phân giác), nên ta có ID = AB và IG = BC. Do đó, BD = ID = AB và BG = IG = BC. Vậy tứ giác BDIG là hình bình hành.

b) Ta có ID || AB và IG || BC, nên tam giác IDE và tam giác ABC có các cặp góc tương đồng. Do đó, ta có:

∠IDE = ∠ABC và ∠IED = ∠ACB

Vì ∠ABC + ∠ACB = 180° (tổng các góc trong tam giác ABC), nên ∠IDE + ∠IED = 180°. Vậy tam giác IDE là tam giác có tổng các góc bằng 180°, tức là tam giác IDE là tam giác đều.

Do đó, chu vi tam giác IDE bằng BC.

c) Ta cần chứng minh AI, đường thẳng qua D song song với BI và đường thẳng qua E song song với CI đồng quy.

Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua D song song với BI và đường thẳng qua E song song với CI.

Ta có:

∠DMI = ∠BID (do ID || AB)

∠DMI = ∠BIM (do DM || BI)

Vậy ∠BID = ∠BIM.

Tương tự, ta có ∠CIE = ∠CIM.

Do đó, ta có:

∠BIM + ∠CIM = ∠BID + ∠CIE = ∠BIC = 180° (tổng các góc trong tam giác BIC)

Vậy ba đường thẳng AI, đường thẳng qua D song song với BI và đường thẳng qua E song song với CI đồng quy.