Để chứng minh rằng a^2 + 3a + 53 không chia hết cho 49 với mọi số nguyên a, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử rằng a^2 + 3a + 53 chia hết cho 49 với mọi số nguyên a. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên k sao cho:

a^2 + 3a + 53 = 49k

Ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng:

a^2 + 3a + (53 - 49k) = 0

Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần phải có delta là một bình phương của một số nguyên. Delta của phương trình trên là:

delta = 3^2 - 4(53 - 49k) = 9 - 212 + 196k = 196k - 203

Để delta là một bình phương của một số nguyên, ta cần phải có 196k - 203 là một bình phương của một số nguyên. Tuy nhiên, ta có thể thấy rằng 196k - 203 không thể là một bình phương của một số nguyên với mọi giá trị của k.

Vì vậy, giả sử ban đầu là sai. Điều này có nghĩa là a^2 + 3a + 53 không chia hết cho 49 với mọi số nguyên a.