a) Tứ giác ABDM là hình bình hành.

Chứng minh:
- Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
- Vì D là điểm đối xứng của A qua H, nên AD = AH.
- Vì M là điểm đối xứng của B qua H, nên BM = BH.
- Vì AB = AC (do tam giác ABC vuông tại A), nên AB = AC = BC/2.
- Vậy ta có AB = AC = BC/2 = AD = BM = BH, suy ra ABDM là hình bình hành.

b) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên diện tích tam giác ABC là S = (1/2) * BC * AH = (1/2) * 5 * 2 = 5 cm^2.

Vì AB = AC = BC/2, nên diện tích tam giác ABC cũng chính là diện tích tam giác BDC.

Vậy diện tích BDC là 5 cm^2.

c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ADC.

- Ta có AB = AC (do tam giác ABC vuông tại A), nên tam giác ABC cân tại A.
- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cắt BC tại trung điểm của BC (ký hiệu là E).
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên AE là đường trung bình của tam giác ABC.
- Vậy ta có AE = EC.
- Vì D là điểm đối xứng của A qua H, nên AD = AH.
- Vì M là điểm đối xứng của B qua H, nên BM = BH.
- Vì AB = AC (do tam giác ABC vuông tại A), nên AB = AC = BC/2.
- Vậy ta có AB = AC = BC/2 = AD = BM = BH, suy ra ABDM là hình bình hành.
- Vậy ta có AM = BD.
- Vậy ta có AM = BD = EC.
- Vậy ta có M là trực tâm của tam giác ADC.

d) Gọi I là trung điểm của MC, N là giao điểm của DM với AC.

- Ta có M là trực tâm của tam giác ADC, nên IM song song với DN (do đường chéo của hình bình hành ABDM chia đôi nhau).
- Vậy ta có IM || DN.
- Ta có I là trung điểm của MC, nên IM cắt DN tại N sao cho IN = NM.
- Vậy ta có tam giác NHI là tam giác vuông tại N (do IN = NM và IM || DN).