Để tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật, ta cần tìm các số tỉ lệ của 5, 6, 7 sao cho thể tích của hình hộp chữ nhật là 1680 cm3.

Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là x, y và z.

Theo đề bài, ta có:
x/y = 5/6
x/z = 5/7

Từ đó, ta có hệ phương trình:
6x = 5y
7x = 5z

Từ hai phương trình trên, ta có:
6x = 7x * (5/7) = 5z
6x = 5y
=> 7x * (5/7) = 5y
=> 5z = 5y
=> z = y

Do đó, ta có:
x/y = 5/6
x/z = 5/7
z = y

Từ đó, ta có:
x/y = 5/6
x/y = 5/7

Tìm x:
x/y = 5/6
=> x = (5/6)y

x/y = 5/7
=> x = (5/7)y

Vậy, ta có:
(5/6)y = (5/7)y
=> 5/6 = 5/7
=> 7 = 6

Phương trình trên không có nghiệm, do đó không tồn tại hình hộp chữ nhật có các kích thước tỉ lệ thuận với 5, 6, 7 và có thể tích là 1680 cm3.

Vì vậy, không thể tính được độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật.