Cho hình vuông ABCD. M nằm trên đường chéo BD(MB

1) Ta có MN ⊥ AB và MP ⊥ AD, nên MN và MP là đường cao của tam giác vuông AMB và tam giác vuông AMP. Do đó, AM là đường cao của cả hai tam giác này.
Vì vậy, tứ giác ANMP là hình chữ nhật.

Tiếp theo, ta có Q là giao điểm của PM và BC. Vì MP ⊥ AD, nên QP ⊥ AD. Tương tự, vì MN ⊥ AB, nên BQ ⊥ AB.
Do đó, ABQP là hình chữ nhật.

2) Tứ giác BQMN là hình bình hành. Vì BQ ⊥ AB và MN ⊥ AB, nên BQ // MN. Tương tự, vì BQ ⊥ BC và MN ⊥ BC, nên BQ // MN.
Vậy tứ giác BQMN là hình bình hành.

3) Vẽ AE ⊥ QN tại E. Ta cần chứng minh góc BEP = 90°.
Vì tứ giác ABQP là hình chữ nhật, nên góc BQP = 90°.
Vì QN ⊥ AE và QP ⊥ AD, nên QN // AD.
Do đó, góc QNE = góc QAD = 90°.
Vì vậy, tứ giác QNEP là hình chữ nhật.
Vì QN ⊥ AE và QP ⊥ AD, nên NE ⊥ EP.
Vậy, góc BEP = 90°.

4) Để AM có độ dài nhỏ nhất, ta cần chọn M sao cho MB = MD.
Vì MN ⊥ AB và MP ⊥ AD, nên MN và MP là đường cao của tam giác vuông AMB và tam giác vuông AMP. Do đó, AM là đường cao của cả hai tam giác này.
Vì MB = MD, nên đường cao AM chia đường chéo BD thành hai phần bằng nhau.
Vậy, để AM có độ dài nhỏ nhất, ta cần chọn M là trung điểm của BD.