Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC, gọi P và N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB

a) Ta có tam giác CMP và tam giác MBN có:
- CM = CM (cạnh chung)
- MP = NB (vì M là trung điểm BC)
- CP = BN (vì tam giác ABC vuông tại A)
Vậy theo định lí hai tam giác đồng dạng (SAS), ta có tam giác CMP đồng dạng với tam giác MBN.

b) Ta có:
- MP = NB (vì M là trung điểm BC)
- AP = AN (vì tam giác ABC vuông tại A)
Vậy theo định lí hai tam giác đồng dạng (SSS), ta có tam giác APM đồng dạng với tam giác ANB.
Do đó, tam giác APM và tam giác ANB có các góc tương đương nhau, tức là APMN là hình chữ nhật.

c) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng MP và AC.
Ta có:
- MP = MQ (vì P là trung điểm AC)
- CP = CQ (vì tam giác ABC vuông tại A)
Vậy theo định lí hai tam giác đồng dạng (SSS), ta có tam giác CMP đồng dạng với tam giác MCQ.
Do đó, tam giác AMCQ là hình thoi vì có cạnh bằng nhau và các góc tương đương nhau.