Để biểu thức M là số nguyên, ta cần điều kiện số tử chia hết cho số mẫu.

Ta có: M = (12x - 2) / (4x + 1)

Điều kiện số tử chia hết cho số mẫu là: 4x + 1 chia hết cho 12x - 2.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:

(12x - 2) = k(4x + 1) + r

Với k là số nguyên thương và r là số dư.

Để r = 0, ta có:

(12x - 2) = k(4x + 1)

12x - 2 = 4kx + k

(12 - 4k)x = k + 2

x = (k + 2) / (12 - 4k)

Để x là số nguyên, ta cần điều kiện 12 - 4k chia hết cho k + 2.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:

(12 - 4k) = m(k + 2) + r

Với m là số nguyên thương và r là số dư.

Để r = 0, ta có:

(12 - 4k) = m(k + 2)

12 - 4k = mk + 2m

(12 - 2m) = (k + 4)m

12 - 2m chia hết cho k + 4.

Vậy, để M là số nguyên, ta cần tìm các giá trị của k sao cho 12 - 2m chia hết cho k + 4.