Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ OA = OC, OB = OD (tính chất hình bình hành)

Kẻ OO' ⊥ xy

AA' ⊥ xy (gt)

CC' ⊥ xy (gt)

Suy ra: AA' // OO' // CC'

Tứ giác ACC'A' là hình thang có:

OA = OC (chứng minh trên)

OO' // AA' nên OO' là đường trung bình của hình thang ACC'A'.

⇒ OO' = (AA' + CC') / 2 (t/chất đường trung bình của hình thang) (1)

BB' ⊥ xy

DD' ⊥ xy (gt)

OO' ⊥ xy (gt)

Suy ra: BB'// OO' // DD'

Tứ giác BDD'B' là hình thang có:

OB = OD (Chứng minh trên)

OO' // BB' nên OO' là đường trung bình của hình thang BDD'B'.

⇒ OO' = (BB' + DD') / 2 (tính chất đường trung bình của hình thang) (2)

Từ (1) và (2) => AA' + CC' = BB + DD'

Gọi M là điểm chung của đường thẳng xy với AB, và N là điểm chung của đường thẳng xy với CD. Ta cần chứng minh AA' = BB' + DD'.

Do ABCD là hình bình hành, nên MN song song với BC và AD.

Gọi h là đường cao từ M xuống AB, và gọi k là đường cao từ N xuống CD.

Do MN song song với BC và AD, nên h và k lần lượt là đường vuông góc với xy tại A' và B'.

Gọi x là đoạn thẳng MN.

Theo bài toán, ta cần chứng minh: AA' = BB' + DD'.

Vì MN và BC song song và x là đoạn thẳng dân đối xứng của CD qua trục đối xứng là MN, nên ta có:

BB' = x.

Tương tự, ta có MN và AD song song và x là đoạn thẳng đối xứng của AB qua trục đối xứng là MN, nên ta có:

DD' = x.

Vậy BB' = DD' = x.

Từ đây, ta có AA' = x + x = 2x.

Vì x là độ dài của đoạn thẳng MN, và MN là cạnh của hình bình hành ABCD, nên x chính là độ dài của cạnh hình bình hành.

Vì vậy, ta có AA' = 2x = 2MN = BB' + DD'.

Vậy ta đã chứng minh được AA' = BB' + DD'.
mik cố  ngắn hết mức  nhé