a) Ta có BE là đường trung bình của tam giác ABC nên BE // AD và BE = AD/2.
Vì DE là tia phân giác của góc D nên DE cắt BC tại trung điểm F của BC.
Do đó, ta có EF // AB và EF = AB/2.
Vậy tam giác ABE và tam giác KCE là hai tam giác đồng dạng (có hai cạnh tương ứng song song và tỉ lệ cạnh bằng nhau), nên tam giác ABE = tam giác KCE.

b) Ta có AE // DC (do AB // CD) và K là giao điểm của hai đường thẳng AE và DC, nên theo định lí Thales, ta có AK/AD = AE/AC = 1/2.
Vậy tam giác ADK cân tại D.

c) Góc AED là góc giữa hai tia AE và ED. Ta có DE là tia phân giác của góc D, nên góc AED = góc ADE.
Vì AE // DC (do AB // CD) và DE là tia phân giác của góc D, nên góc ADE = góc CDE.
Do đó, góc AED = góc CDE.

d) Ta có S ABCD = S ABE + S AED + S ECD.
Vì tam giác ABE = tam giác KCE (đã chứng minh ở câu a), nên S ABE = S KCE.
Vì góc AED = góc CDE (đã chứng minh ở câu c), nên S AED = S ECD.
Vậy S ABCD = 2S ABE + 2S AED = 2(S ABE + S AED) = 2(S KCE + S ECD) = 2S KCE.
Vì tam giác ADK cân tại D (đã chứng minh ở câu b), nên S ADK = S ADK.
Vậy S ABCD = 2S KCE = 2S ADK.