Mệnh đề 1: Nếu f(m+n) chia hết mn thì f(m) chia hết n và f(n) chia hết cho m

Chứng minh:

Giả sử f(m+n) chia hết mn, tức là tồn tại số nguyên k sao cho f(m+n) = kmn

Ta có:

f(m+n) = f(m + n - m) = f(n)

Do f(m+n) chia hết mn, nên f(n) cũng chia hết mn.

f(n) = mn * k'

Tương tự, ta có:

f(m) = f(m - n) = f(m - m * k) = f(0)

Do f(m+n) chia hết mn, nên f(0) cũng chia hết mn.

f(0) = mn * k''

Vậy, f(m) chia hết n và f(n) chia hết cho m.

Xét mệnh đề ngược lại

Mệnh đề 2: Nếu f(m) chia hết n và f(n) chia hết cho m thì f(m+n) chia hết mn

Chứng minh:

Giả sử f(m) chia hết n và f(n) chia hết cho m, tức là tồn tại các số nguyên p và q sao cho f(m) = np và f(n) = qn

Ta có:

f(m+n) = f(m + n - m) = f(n)
f(n) = qn
f(m+n) = qn

Do f(m) chia hết n, nên f(m+n) cũng chia hết n.

f(m+n) = mn * k

Tương tự, ta có:

f(m) = f(m - n) = f(m - m * k) = f(0)
f(0) = mn * k'

Vậy, f(m+n) chia hết mn.