Để chứng minh biểu thức -y^2 + y - 1 luôn âm với mọi giá trị y, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thiện khối lượng.

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng hoàn thiện khối lượng bằng cách thêm vào một số hạng không đổi:

-y^2 + y - 1 = -(y^2 - y + 1)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng y^2 - y + 1 luôn dương với mọi giá trị y.

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thiện khối lượng khác. Ta có thể viết lại biểu thức y^2 - y + 1 dưới dạng hoàn thiện khối lượng bằng cách thêm vào một số hạng không đổi:

y^2 - y + 1 = (y - 1/2)^2 + 3/4

Ta thấy rằng (y - 1/2)^2 luôn không âm với mọi giá trị y. Do đó, (y - 1/2)^2 + 3/4 cũng không âm với mọi giá trị y.

Vậy, ta có biểu thức -y^2 + y - 1 luôn âm với mọi giá trị y.