Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cos^2x - 2√3.sin2x + 1, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số này.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số y theo biến x:
y' = -4cosx.sinx - 4√3.cos2x

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
-4cosx.sinx - 4√3.cos2x = 0

Chia cả hai vế của phương trình cho -4cosx, ta được:
sinx + √3.cos2x = 0

Áp dụng công thức biến đổi sin2x thành 2sinx.cosx, ta có:
sinx + √3(2cos^2x - 1) = 0
sinx + 2√3cos^2x - √3 = 0
2√3cos^2x + sinx = √3

Áp dụng công thức biến đổi sinx thành 2sin(x/2)cos(x/2), ta có:
2√3cos^2x + 2sin(x/2)cos(x/2) = √3
2cos^2x + 2sin(x/2)cos(x/2) = 1

Áp dụng công thức biến đổi cos^2x thành (1 + cos2x)/2, ta có:
2(1 + cos2x)/2 + 2sin(x/2)cos(x/2) = 1
1 + cos2x + 2sin(x/2)cos(x/2) = 1
cos2x + 2sin(x/2)cos(x/2) = 0

Áp dụng công thức biến đổi cos2x thành cos^2(x/2) - sin^2(x/2), ta có:
cos^2(x/2) - sin^2(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) = 0
cos^2(x/2) + sin(x/2)cos(x/2) = 0
cos(x/2)(cos(x/2) + sin(x/2)) = 0

Phương trình trên có hai giải pháp:
1. cos(x/2) = 0 => x/2 = π/2 + kπ, với k là số nguyên
=> x = π + 2kπ, với k là số nguyên
2. cos(x/2) + sin(x/2) = 0

Để giải phương trình cos(x/2) + sin(x/2) = 0, ta có thể áp dụng công thức biến đổi sin(x/2) thành cos(x/2 + π/2):
cos(x/2) + cos(x/2 + π/2) = 0
2cos(x/2 + π/4)cos(π/4) = 0
cos(x/2 + π/4) = 0

Phương trình trên có hai giải pháp:
1. x/2 + π/4 = π/2 + kπ, với k là số nguyên
=> x/2 = π/4 + kπ/2, với k là số nguyên
=> x = π/2 + 2kπ, với k là số nguyên
2. x/2 + π/4 = 3π/2 + kπ, với k là số nguyên
=> x/2 = 3π/4 + kπ/2, với k là số nguyên
=> x = 3π/2 + 2kπ, với k là số nguyên

Tổng hợp lại, ta có các giá trị của x tương ứng với điểm cực trị của hàm số y:
x = π + 2kπ, với k là số nguyên
x = π/2 + 2kπ, với k là số nguyên
x = 3π/2 + 2kπ, với k là số nguyên

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y, ta thay các giá trị của x vào hàm số và so sánh:
- Đối với x = π + 2kπ:
y = 2cos^2(π + 2kπ) - 2√3.sin2(π + 2kπ) + 1
= 2cos^2π - 2√3.sin2π + 1
= 2 - 2√3(0) + 1
= 3

- Đối với x = π/2 + 2kπ:
y = 2cos^2(π/2 + 2kπ) - 2√3.sin2(π/2 + 2kπ) + 1
= 2cos^2(π/2) - 2√3.sin(π) + 1
= 2(0) - 2√3(0) + 1
= 1

- Đối với x = 3π/2 + 2kπ:
y = 2cos^2(3π/2 + 2kπ) - 2√3.sin2(3π/2 + 2kπ) + 1
= 2cos^2(3π/2) - 2√3.sin(3π) + 1
= 2(0) - 2√3(0) + 1
= 1

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số y là 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số y là 1.