Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM, MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BM = MC.

Vì MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, nên ta có:

∠AMD = 90° và ∠AME = 90°.

Do đó, tam giác AMD và tam giác AME là hai tam giác vuông. Vì AM chung, nên ta có:

∠DMA = ∠EMA (cùng bằng 90°)

Và ∠DAM = ∠EAM (cùng bằng 90°)

Vậy, ta có hai góc vuông bằng nhau, nên tam giác AMD và tam giác AME là hai tam giác cân.

Vì AM = AM (cùng là đường trung tuyến), nên ta có:

AD = AE (cùng là đường trung tuyến)

Và DM = EM (cùng là đường cao)

Vậy, ta có ADME là hình chữ nhật.

b) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Khi lấy F đối xứng với A qua H, ta có:

∠AFH = ∠AHF = 90°.

Vì ∠AFH = ∠AHF = 90°, nên tam giác AFH là tam giác vuông.

Vì AH = AH (cùng là đường cao), nên ta có:

AF = AH (cùng là đường cao)

Và FH = FH (cùng là cạnh chung)

Vậy, ta có tam giác AFH là tam giác cân.

Do đó, ta có AB = AF (cùng là cạnh chung) và AB || FH (do AFH là tam giác cân), nên ta có ABFK là hình bình hành.

c) Ta có AK là đối xứng của AB qua H, nên AH là trung trực của BK. Vì AB || FK (do ABFK là hình bình hành), nên ta có:

∠AKF = ∠ABF = ∠AHF = 90°.

Vậy, ta có AK vuông góc với CF.