Cho tam giác ABC và đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

a) Ta có:
- Gọi D là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
- Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên IK.
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Gọi N là trung điểm của IK.

Ta có:
- AD ⊥ BC và AH ⊥ BC nên AD || AH.
- Do đó, tam giác AHD và tam giác ANH là đồng dạng.
- Tương tự, tam giác AED và tam giác AME là đồng dạng.
- Vì AM = MN và AE = EN nên tam giác AME và tam giác ANM là đồng dạng.
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AD/AH = AE/AM = EN/AN.
- Vì AD || AH nên tỉ số đồng dạng trên cũng tương đương với tỉ số đồng dạng: ED/EH = EN/AN.
- Nhưng EH = HN nên tỉ số đồng dạng trên cũng tương đương với tỉ số đồng dạng: ED/EH = EN/HN.
- Vậy ta có ED // IK.

b) Ta có:
- Gọi S_ABC là diện tích tam giác ABC.
- Gọi S_DEH là diện tích tam giác DEH.

Ta có:
- S_ABC = 1/2 * AB * HC = 1/2 * AC * HB = 1/2 * BC * AH.
- S_DEH = 1/2 * DE * EH = 1/2 * DE * HN.

Vì DE // BC và EH // AH nên ta có tỉ số đồng dạng: DE/BC = HN/AH.
Do đó, ta có: S_DEH = 1/2 * DE * HN = 1/2 * BC * AH * DE/BC = 1/2 * S_ABC * DE/BC.

Từ đó, ta có: S_DEH/S_ABC = DE/BC = cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C).

Vậy S_DEH = (1 - cos^2(A) - cos^2(B) - cos^2(C)) * S_ABC.