a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB = 15 cm và AC = 20 cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 15^2 + 20^2
BC^2 = 225 + 400
BC^2 = 625
BC = √625
BC = 25 cm

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
AH = BC = 25 cm

Vì ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có:
BH^2 + AH^2 = AB^2
BH^2 + 25^2 = 15^2
BH^2 + 625 = 225
BH^2 = 225 - 625
BH^2 = -400
Vì không thể có cạnh âm, nên không tồn tại giá trị của BH.

b) Vì BH = HD, nên tam giác BHD là tam giác cân tại B. Do đó, ta có BH = HD.

Vì MD = ME, nên tam giác MDE là tam giác cân tại M. Do đó, ta có MD = ME.

Vì BH = HD và MD = ME, nên tam giác BHE là tam giác cân tại B và E.

Vì tam giác BHE là tam giác cân, nên BE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AB = CE.

c) Vì AB = CE, nên diện tích tam giác AECB là:
S = (AB * AC) / 2
S = (15 * 20) / 2
S = 150 cm^2