Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lí về tam giác và đối xứng.

1. Chứng minh AD = EF:
Ta có DF//AC và DE//AB, suy ra tam giác ADF và tam giác ADE là tam giác đồng dạng.
Vì D là trung điểm của BC, nên ta có BD = CD.
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AD/DF = AE/DE.
Từ đó, suy ra AD/DF = AE/DE = 1/2.
Vậy, ta có AD = EF.

2. Chứng minh AC là tia phân giác của góc MAD:
Gọi G là giao điểm của AC và EF.
Ta cần chứng minh AG là tia phân giác của góc MAD.
Ta có AG/AD = FG/FD (vì tam giác ADF và tam giác AFG đồng dạng).
Tương tự, ta có AG/AE = EG/ED (vì tam giác ADE và tam giác AEG đồng dạng).
Từ đó, suy ra AG/AD = FG/FD = EG/ED.
Vậy, ta có AG là tia phân giác của góc MAD.

3. Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua A:
Gọi L là điểm đối xứng của N qua A.
Ta cần chứng minh M = L.
Ta có EM = ED và FN = FD.
Vì EM = ED, nên tam giác EMD là tam giác đều.
Tương tự, vì FN = FD, nên tam giác FND là tam giác đều.
Do đó, ta có góc MDE = góc NDF.
Nhưng góc MDE = góc NDF = 90 độ (do DF//AC và DE//AB).
Vậy, ta có góc MDE = góc NDF = 90 độ.
Từ đó, suy ra M = L.
Vậy, ta có điểm M đối xứng với điểm N qua A.