a) Ta có OM = R, AM và BM là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo định lí tiếp tuyến, ta có:
∠OMA = ∠OAM và ∠OMB = ∠OBM
Vậy tam giác OMA và tam giác OMB là hai tam giác cân.
Do đó, ta có:
∠MAO = ∠MOA và ∠MBO = ∠MBO
Vậy ∠MAO = ∠MBO
Vì ∠MAO = ∠MBO nên ∠MAO + ∠MBO = 180°
Vậy tam giác AOB là tam giác cân.
Khi đó, ta có AK = KB (vì A và B là các tiếp điểm của đường tròn (O))
Và ta có OM = OM (trivial)
Vậy theo định lí hai đường trung bình của tam giác, ta có K là trung điểm của AB.

b) Ta có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên MA = R
Vì K là trung điểm của AB, nên AK = KB = AB/2
Vậy AB = 2AK = 2R
Vì K là trung điểm của AB, nên OK là đường trung bình của tam giác ABK, nên OK = AK = R

c) Kẻ đường kính AN của đường tròn (O), ta có:
∠ANO = 90° (do ON là đường kính nên vuông góc với AN)
Vì ∠ANO = 90° nên tam giác ANO là tam giác vuông tại O.
Vậy ta có:
∠BHN = ∠ANO (cùng là ∠NOA)
Và ∠BHN = ∠NOA = ∠NOB (do BN là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Vậy ∠BHN = ∠NOB
Vì ∠BHN = ∠NOB nên ∠BHN + ∠NOB = 180°
Vậy tam giác BHN là tam giác cân.
Do đó, ta có:
MB = BN (vì B là tiếp điểm của đường tròn (O))
Và ta có:
BH = NH (vì H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng AN)
Vậy MB.BN = BH.MO

d) Ta có ∠MOC = ∠MDC (cùng là ∠OMC)
Và ∠MOC = ∠MDC = ∠MDE (do DE là đường đối xứng của DC qua K)
Vậy ∠MOC = ∠MDE
Vì ∠MOC = ∠MDE nên ∠MOC + ∠MDE = 180°
Vậy tam giác OCE là tam giác cân.
Do đó, ta có:
OE = EC (vì E là điểm đối xứng của C qua K)
Và ta có:
∠OEC = ∠OCE = ∠OMC (do tam giác OCE là tam giác cân)
Vậy ∠OEC = ∠OMC
Vì ∠OEC = ∠OMC nên ∠OEC + ∠OMC = 180°
Vậy tam giác OME là tam giác có tổng các góc bằng 180°.
Vậy E là trực tâm của tam giác ABD.