Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ một đường thẳng cắt AB và CD theo thứ tự ở E và F, một đường thẳng cắt BC và AD theo thứ tự ở G và H. Chứng minh EGFH là hình bình hành

Bài 13:
Ta có:
- Hai đường chèo AB và CD cắt nhau tại O.
- Đường thẳng qua O cắt AB và CD lần lượt tại E và F.
- Đường thẳng qua O cắt BC và AD lần lượt tại G và H.

Ta cần chứng minh EGFH là hình bình hành.

Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh các cặp góc tương đương và các cặp cạnh tương đương.

Cặp góc tương đương:
- Góc EOG = Góc FOG (do đường thẳng EF cắt AB và CD).
- Góc EOG = Góc GHB (do đường thẳng OG cắt BC và AD).
- Góc FOG = Góc GHB (do đường thẳng OG cắt BC và AD).

Cặp cạnh tương đương:
- Cạnh EO = Cạnh FO (do đường thẳng EF cắt AB và CD).
- Cạnh GH = Cạnh HB (do đường thẳng OG cắt BC và AD).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng EGFH là hình bình hành.

Bài 14:
Ta có tam giác ABC vuông cân tại A. Đường thẳng d đi qua A và hình chiếu của B và C lần lượt là D và E trên d. K là điểm thuộc CE và DK//BC.

Ta cần chứng minh AE = CK.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:
- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AM là đường trung tuyến và đồng thời là đường cao của tam giác ABC.
- Hình chiếu của B và C lên đường trung tuyến AM là M và M.
- Hình chiếu của B và C lên đường cao AM là D và E.
- DK//BC nên tam giác BDK và tam giác CME là đồng dạng.

Từ đó, ta có:
- AE = ME (do hình chiếu của B và C lên đường cao AM là D và E).
- CK = KD (do tam giác BDK và tam giác CME đồng dạng).

Vậy, ta có AE = CK.

Bài 15:
Cho hình thang ABCD với AB//CD. K là điểm đối xứng với A qua CD.

Ta cần chứng minh BCKD là hình bình hành.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:
- AB//CD nên AB = CD.
- K là điểm đối xứng với A qua CD nên AK = CK.
- M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Từ đó, ta có:
- AB = CD.
- AK = CK.
- BM = MC.

Vậy, ta có thể kết luận rằng BCKD là hình bình hành.