a) Ta có:
6 mũ 100 - 1 = (6 mũ 50) mũ 2 - 1 = (6 mũ 50 - 1)(6 mũ 50 + 1)
Vì 6 mũ 50 - 1 chia hết cho 5 và 6 mũ 50 + 1 chia hết cho 7, nên (6 mũ 50 - 1)(6 mũ 50 + 1) chia hết cho 5 và 7.
Vậy, 6 mũ 100 - 1 chia hết cho 5 và 7.

b) Ta có:
21 mũ 20 - 11 mũ 10 = (21 mũ 10) mũ 2 - (11 mũ 10) mũ 2 = (21 mũ 10 - 11 mũ 10)(21 mũ 10 + 11 mũ 10)
Vì 21 mũ 10 - 11 mũ 10 chia hết cho 10 và 21 mũ 10 + 11 mũ 10 chia hết cho 2, nên (21 mũ 10 - 11 mũ 10)(21 mũ 10 + 11 mũ 10) chia hết cho 10 và 2.
Vậy, 21 mũ 20 - 11 mũ 10 chia hết cho 2 và 5.

c) Ta có:
3 + 3 mũ 2 + 3 mũ 3 + ... + 3 mũ 60 = 3(1 + 3 + 3 mũ 2 + ... + 3 mũ 59)
Ta biết rằng 3 mũ k chia hết cho 4 khi k > 1.
Vậy, 3 mũ k chia hết cho 4 khi k > 1 và 3(1 + 3 + 3 mũ 2 + ... + 3 mũ 59) chia hết cho 4.
Ta cần chứng minh rằng 3(1 + 3 + 3 mũ 2 + ... + 3 mũ 59) chia hết cho 13.
Gọi S = 1 + 3 + 3 mũ 2 + ... + 3 mũ 59.
Nhân cả hai vế của S với 3, ta được:
3S = 3 + 3 mũ 2 + 3 mũ 3 + ... + 3 mũ 60
Trừ hai phương trình trên, ta có:
2S = 3 mũ 60 - 1
Vì 3 mũ 60 - 1 chia hết cho 13, nên 2S chia hết cho 13.
Do đó, S chia hết cho 13.
Vậy, 3 + 3 mũ 2 + 3 mũ 3 + ... + 3 mũ 60 chia hết cho 4 và 13.