a, Tứ giác OCAB là hình vuông. Vì dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA, nên OM là đường trung bình của tam giác OAB. Vì vậy, OM cắt AB làm đôi tại N, và ON là đường trung tuyến của tam giác OAB. Do đó, ON = OM = R/2. Từ đó, ta có OA = OB = R và OC = ON + NC = R/2 + R/2 = R. Vậy tứ giác OCAB là hình vuông.

b, Gọi D là giao điểm của tiếp tuyến tại B và đường thẳng OA. Theo định lý tiếp tuyến, ta có OB vuông góc với BD. Vì OB = R và BD = R/2 (vì BD là đường trung tuyến của tam giác OAB), nên tam giác OBD là tam giác vuông cân tại B. Từ đó, ta có OD = OB = R và BD = R/2. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OBD, ta có:
OD^2 = OB^2 - BD^2
R^2 = R^2 - (R/2)^2
R^2 = R^2 - R^2/4
R^2 = 3R^2/4
R^2/4 = R^2/4
R^2 = R^2
Vậy tam giác OBD là tam giác vuông cân, và ta có OD = R. Từ đó, ta có BE = BD - DE = R/2 - R/2 = 0. Vậy độ dài BE là 0.

c, Ta đã chứng minh ở câu b rằng tam giác OBD là tam giác vuông cân tại B. Vì vậy, đường trung tuyến BD là đường cao của tam giác OBD. Do đó, OC vuông góc với BD và đi qua trung điểm M của BD. Vậy EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d, Ta đã chứng minh ở câu c rằng EC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Vì vậy, tam giác EBC có hai cạnh BC và EC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên tam giác EBC là tam giác đều.