Để tìm độ dài đoạn thẳng MN, ta cần tìm tọa độ của điểm M và điểm N trên đường thẳng y = -x.

Đường thẳng y = -x cắt đường cong y = 2x - 8/x khi và chỉ khi giá trị của y trên cả hai đường thẳng bằng nhau. Ta có:

- Đối với đường thẳng y = -x: y = -x
- Đối với đường cong y = 2x - 8/x: y = 2x - 8/x

Vậy, ta có phương trình:

-x = 2x - 8/x

Đưa về phương trình bậc hai:

x^2 + 2x - 8 = 0

Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm là x = -4 và x = 2.

Khi x = -4, ta có y = -(-4) = 4, nên điểm M có tọa độ (-4, 4).
Khi x = 2, ta có y = -2, nên điểm N có tọa độ (2, -2).

Độ dài đoạn thẳng MN được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ:

MN = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
= √[(2 - (-4))^2 + (-2 - 4)^2]
= √[(6)^2 + (-6)^2]
= √[36 + 36]
= √72
= 6√2

Vậy, độ dài đoạn thẳng MN là 6√2.