Cho đường tròn (O,R).A là một điểm nằm bên ngoài đường tròn

a. Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn (O,R), nên góc OAM = 90 độ. Tương tự, góc OAN = 90 độ. Do đó, tứ giác AMON nằm trên một đường tròn.

Để xác định tâm của đường tròn đó, ta cần tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON. Gọi I là giao điểm của MO và NO. Ta có góc MON = góc MIN (do cùng chắn cung MN), góc MNO = góc MIO (do cùng chắn cung MO), góc ONM = góc OIM (do cùng chắn cung NO). Vậy, tứ giác MONI là tứ giác điều hòa. Do đó, I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MONO.

b. Ta có góc OAM = góc OAN (cùng bằng 90 độ), góc AOM = góc AON (cùng bằng 90 độ). Vậy, tam giác AOM và tam giác AON là hai tam giác cân. Do đó, AM = AN.

Gọi P là giao điểm của AO và MN. Ta có góc MAN = góc MAP (cùng chắn cung MN), góc MNA = góc MPA (cùng chắn cung AN). Vậy, tứ giác MANP là tứ giác điều hòa. Do đó, AP là phân giác của góc MAN.

c. Ta có góc OAM = góc OAN (cùng bằng 90 độ), góc AOM = góc AON (cùng bằng 90 độ). Vậy, tam giác AOM và tam giác AON là hai tam giác cân. Do đó, AM = AN. Mà AM = AN, nên tam giác AMN là tam giác cân. Vậy, MN là đường trung tuyến của tam giác AMN. Do đó, AO vuông góc với MN.

d. Ta có góc OAM = góc OAN (cùng bằng 90 độ), góc AOM = góc AON (cùng bằng 90 độ). Vậy, tam giác AOM và tam giác AON là hai tam giác cân. Do đó, AM = AN. Mà AM = AN, nên tam giác AMN là tam giác cân. Vậy, MN là đường trung tuyến của tam giác AMN. Do đó, MI là phân giác của góc AMO.