a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH có BH = 1,8 cm và HC = 3,2 cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² = AH² + BH²
AB² = (1,8)² + (3,2)²
AB² = 3,24 + 10,24
AB² = 13,48
AB ≈ √13,48 ≈ 3,67 cm

AC² = AH² + HC²
AC² = (1,8)² + (3,2)²
AC² = 3,24 + 10,24
AC² = 13,48
AC ≈ √13,48 ≈ 3,67 cm

Góc B = góc AHB = góc AHC = 90°

Vậy AH ≈ 1,8 cm, AB ≈ 3,67 cm, AC ≈ 3,67 cm và góc B = 90°.

b) Gọi I là giao điểm của đường phân giác góc B với AC. Ta cần tính BD.

Theo định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có:
BD/DC = AB/AC
BD/DC = 3,67/3,67
BD/DC = 1

Vì BD + DC = AC, nên ta có:
BD + BD = AC
2BD = AC
BD = AC/2

Vậy BD = AC/2.

c) Cần chứng minh tan góc ABD = AC / AB+BC.

Áp dụng định lí tan trong tam giác vuông ABD, ta có:
tan góc ABD = BD/AB
tan góc ABD = AC/2AB

Áp dụng định lí tan trong tam giác vuông ABC, ta có:
tan góc BAC = AC/AB

Áp dụng định lí tan trong tam giác vuông BAC, ta có:
tan góc BAC = BC/AC

Từ các công thức trên, ta có:
tan góc ABD = tan góc BAC * tan góc BAC
tan góc ABD = (AC/AB) * (BC/AC)
tan góc ABD = BC/AB

Vậy tan góc ABD = AC / AB+BC.