Để chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông, ta cần chứng minh các cặp cạnh của tứ giác này bằng nhau và các góc của tứ giác này đều bằng 90 độ.

Ta có:
- Đường phân giác AD chia góc BAC thành hai góc bằng nhau, nên góc BAD = góc CAD.
- Đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt đường thẳng vuông góc với AC tại F tại D, nên tứ giác AEDF là tứ giác điều hòa.

Vậy, ta chỉ cần chứng minh AD = DE và AD = DF để kết luận tứ giác AEDF là hình vuông.

Ta có:
- Góc BAD = góc CAD (do AD là đường phân giác góc BAC)
- Góc ADE = góc ADF = 90 độ (do DE và DF là đường thẳng vuông góc với AB và AC)

Vậy, ta có hai tam giác vuông cân ADE và ADF có cạnh góc vuông chung AD và cạnh chung AD bằng nhau (do góc BAD = góc CAD). Do đó, theo định lý cạnh góc vuông trong tam giác vuông cân, ta có AD = DE và AD = DF.

Vậy, tứ giác AEDF là hình vuông.