Để chứng minh FO = BH/2 và OE = AH/2, ta sẽ sử dụng tính chất của đường trung trực và đường cao trong tam giác.

Gọi E là trung điểm của AC và F là trung điểm của BC.

Ta có:
1. Đường trung trực của AC và BC cắt nhau tại O. Vì E là trung điểm của AC nên EO là đường trung trực của AC. Tương tự, FO là đường trung trực của BC.
2. Đường cao AH và BH cắt nhau tại H. Vì F là trung điểm của BC nên FH là đường cao của tam giác ABC. Tương tự, EH là đường cao của tam giác ABC.

Do đó, ta có các tam giác vuông sau:
- Tam giác FHB vuông tại F.
- Tam giác EHA vuông tại E.

Theo tính chất của tam giác vuông, ta có:
- Trong tam giác FHB, theo định lí Pythagoras, ta có: FO^2 + FH^2 = OH^2.
- Trong tam giác EHA, theo định lí Pythagoras, ta có: EO^2 + EH^2 = OH^2.

Vì FO = EO (vì FO và EO là đường trung trực của AC và BC), và FH = EH (vì FH và EH là đường cao của tam giác ABC), nên ta có:
FO^2 + FH^2 = EO^2 + EH^2.

Do đó, FO^2 = EO^2 và FH^2 = EH^2.

Vì FO và EO cùng dương, nên ta có FO = EO.
Vì FH và EH cùng dương, nên ta có FH = EH.

Vậy, ta có FO = EO và FH = EH.

Từ đó, ta suy ra:
FO = EO = 1/2(BH) (vì FH = BH và EO = 1/2(BH)).
EO = FO = 1/2(AH) (vì EH = AH và FO = 1/2(AH)).

Vậy, ta đã chứng minh được FO = BH/2 và EO = AH/2.