Phân tích:

• x₁ ≥ x₂ ≥ ... ≥ x₂₀₂₁ ≥ 0: Các số không âm và được sắp xếp theo thứ tự giảm dần.
• x₁ + x₂ ≤ 2021: Tổng của hai số lớn nhất không vượt quá 2021.
• x₃ + x₄ + ... + x₂₀₂₁ ≤ 2021: Tổng của các số còn lại cũng không vượt quá 2021.

Để tổng bình phương lớn nhất, ta nên tập trung giá trị vào một vài biến đầu tiên (những biến lớn nhất) và giảm thiểu giá trị của các biến còn lại.

Xét trường hợp:

Để x₁² + x₂² lớn nhất với x₁ + x₂ ≤ 2021, ta sẽ chọn x₁ và x₂ sao cho gần nhau nhất có thể.

• Trường hợp 1: x₁ = x₂

  Khi đó, 2x₁ ≤ 2021 => x₁ ≤ 1010.5. Vì x₁ và x₂ là số không âm, ta có thể chọn x₁ = x₂ = 1010.5. Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu xᵢ là số nguyên, ta có thể chọn x₁ = 1011 và x₂ = 1010 hoặc ngược lại.

• Trường hợp 2: x₁ > x₂

  Để tối đa hóa tổng bình phương, ta nên chọn x₁ lớn nhất có thể và x₂ nhỏ nhất có thể sao cho tổng của chúng không vượt quá 2021.

Đánh giá x₃ + x₄ + ... + x₂₀₂₁ ≤ 2021:

Vì x₁ ≥ x₂ ≥ x₃ ≥ ... ≥ x₂₀₂₁, nếu ta đã chọn x₁ và x₂ sao cho x₁ + x₂ gần 2021, thì tổng x₃ + x₄ + ... + x₂₀₂₁ sẽ nhỏ hơn rất nhiều so với 2021. Do đó, để tối đa hóa tổng bình phương, ta nên đặt x₃ = x₄ = ... = x₂₀₂₁ = 0.

Kết luận:

Để x₁² + x₂² + ... + x₂₀₂₁² đạt giá trị lớn nhất, ta nên chọn:

• Nếu xᵢ là số thực: x₁ = x₂ = 1010.5 và x₃ = x₄ = ... = x₂₀₂₁ = 0. Khi đó, tổng bình phương là 2 * (1010.5)² = 2042100.5
• Nếu xᵢ là số nguyên: x₁ = 1011 và x₂ = 1010 (hoặc ngược lại) và x₃ = x₄ = ... = x₂₀₂₁ = 0. Khi đó, tổng bình phương là 1011² + 1010² = 2042121.

Vậy, giá trị lớn nhất của x₁² + x₂² + ... + x₂₀₂₁² là 2042121 khi xᵢ là số nguyên và 2042100.5 khi xᵢ là số thực.