Để tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình 2x^2 + 2xy - 4y + 2x - 18 = 0, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn chỉnh.

Đầu tiên, ta có thể viết lại phương trình ban đầu dưới dạng:

2x^2 + (2y + 2)x - 4y - 18 = 0

Để giải phương trình này, ta sẽ xem nó như một phương trình bậc hai theo biến x. Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Trong đó, a = 2, b = 2y + 2 và c = -4y - 18.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

x = (-(2y + 2) ± √((2y + 2)^2 - 4(2)(-4y - 18))) / (2(2))

Simplifying the equation, we get:

x = (-(2y + 2) ± √(4y^2 + 8y + 4 + 32y + 144)) / 4

x = (-(2y + 2) ± √(4y^2 + 40y + 148)) / 4

x = (-(2y + 2) ± √(4(y^2 + 10y + 37))) / 4

x = (-(2y + 2) ± 2√(y^2 + 10y + 37)) / 4

x = (-(y + 1) ± √(y^2 + 10y + 37)) / 2

Để x là số nguyên, ta cần phải có √(y^2 + 10y + 37) là một số nguyên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi y^2 + 10y + 37 là một số chính phương.

Để tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y), ta có thể thử từng giá trị của y và kiểm tra xem y^2 + 10y + 37 có phải là số chính phương hay không. Nếu là số chính phương, ta tính x bằng công thức đã tìm được và kiểm tra xem x có phải là số nguyên hay không.

Ví dụ:

Khi y = 0, ta có:

y^2 + 10y + 37 = 0^2 + 10(0) + 37 = 37

37 không phải là số chính phương, nên không có cặp số nguyên (x, y) tương ứng.

Khi y = 1, ta có:

y^2 + 10y + 37 = 1^2 + 10(1) + 37 = 48

48 không phải là số chính phương, nên không có cặp số nguyên (x, y) tương ứng.

Tiếp tục quá trình này cho tất cả các giá trị của y, ta sẽ tìm được tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình ban đầu.