Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường tròn.

1. Chứng minh C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn:
Ta có: $\angle ADB = \angle AEB$ (cùng chắn cung AD trên đường tròn AB) và $\angle AHB = \angle AEB$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn AB).
Do đó, $\angle ADB = \angle AHB$.
Vậy tứ giác ADBH là tứ giác nội tiếp.
Tương tự, ta cũng có tứ giác AECH là tứ giác nội tiếp.
Do đó, tứ giác ADBH và tứ giác AECH đều nội tiếp trong cùng một đường tròn.
Vậy ta có C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn.

2. Chứng minh CH vuông góc với AB:
Ta có $\angle AHB = \angle AEB$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn AB).
Vì tứ giác ADBH là tứ giác nội tiếp, nên $\angle AHB = \angle ADB$.
Do đó, $\angle ADB = \angle AEB$.
Vậy tam giác ADB và tam giác AEB có cùng một góc.
Nhưng ta biết rằng tam giác ADB và tam giác AEB là tam giác đồng dạng (do cùng có góc ở đỉnh).
Vậy ta có $\angle ADB = \angle AEB$ và $\angle ADB = \angle AEB$.
Từ đó, ta suy ra $\angle CHB = \angle CHA$.
Vậy CH vuông góc với AB.

3. Chứng minh AH*AE + BH*BD = AB^2:
Ta có $\angle AHB = \angle AEB$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn AB).
Vì tứ giác ADBH là tứ giác nội tiếp, nên $\angle AHB = \angle ADB$.
Do đó, $\angle ADB = \angle AEB$.
Vậy tam giác ADB và tam giác AEB có cùng một góc.
Nhưng ta biết rằng tam giác ADB và tam giác AEB là tam giác đồng dạng (do cùng có góc ở đỉnh).
Vậy ta có $\frac{AH}{AB} = \frac{AD}{AE}$ và $\frac{BH}{AB} = \frac{BD}{BE}$.
Từ đó, ta suy ra $AH = \frac{AB \cdot AD}{AE}$ và $BH = \frac{AB \cdot BD}{BE}$.
Thay vào công thức cần chứng minh, ta có:
$AH \cdot AE + BH \cdot BD = \frac{AB \cdot AD}{AE} \cdot AE + \frac{AB \cdot BD}{BE} \cdot BD = AB \cdot AD + AB \cdot BD = AB \cdot (AD + BD) = AB \cdot AB = AB^2$.
Vậy ta đã chứng minh được AH*AE + BH*BD = AB^2.

Vậy ta đã chứng minh được các điều kiện cần chứng minh.