Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
- $\angle BAC = 90^\circ$
- $\angle BCF = \angle BCA = \angle BAC = 90^\circ$
- $\angle CAE = \angle CAB = \angle BAC = 90^\circ$

Do đó, ta có các tam giác ACF và ABE đồng dạng với tam giác ABC theo góc nhọn. Vì vậy, ta có:
$$\frac{CF}{AB} = \frac{AC}{BC} \quad (1)$$
$$\frac{AE}{AB} = \frac{AC}{BC} \quad (2)$$

Từ (1) và (2), ta có:
$$CF = \frac{AB \cdot AC}{BC}$$
$$AE = \frac{AB \cdot AC}{BC}$$

Do đó, ta có:
$$AB \cdot CF = AC \cdot AE$$

b) Ta có:
$$\angle MBC = \angle ABC = \angle ACF$$
$$\angle MCB = \angle ACB = \angle ABE$$

Do đó, ta có:
$$\angle MBC = \angle ACF$$
$$\angle MCB = \angle ABE$$

Vậy, ta có các tam giác MBC và ACF đồng dạng theo góc. Vì vậy, ta có:
$$\frac{MB}{AC} = \frac{BC}{CF} \quad (3)$$

Tương tự, ta có:
$$\frac{MC}{AB} = \frac{BC}{AE} \quad (4)$$

Từ (3) và (4), ta có:
$$MB = \frac{AC \cdot BC}{CF}$$
$$MC = \frac{AB \cdot BC}{AE}$$

Do đó, ta có:
$$MB \cdot MC = \frac{AC \cdot BC}{CF} \cdot \frac{AB \cdot BC}{AE} = \frac{AB \cdot AC \cdot BC^2}{CF \cdot AE}$$

Từ phần a), ta có $AB \cdot CF = AC \cdot AE$. Do đó:
$$MB \cdot MC = \frac{AB \cdot AC \cdot BC^2}{AB \cdot CF} = BC^2$$

Vậy, diện tích tứ giác AEMF bằng diện tích tam giác BMC.