1) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC. Vì đường cao AH là bán kính của đường tròn (A), nên AH = R (bán kính của đường tròn (A)).
Theo định lí Pythagoras, ta có:
AB^2 + AH^2 = BH^2
6^2 + R^2 = (12 - R)^2
36 + R^2 = 144 - 24R + R^2
24R = 108
R = 4.5
Vậy AH = 4.5 cm.

Góc BAH là góc giữa đường cao AH và cạnh huyền AB của tam giác ABC. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAH cũng là góc giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông. Do đó, góc BAH là góc 90 độ.

2) Ta có tg AHC = tg ADE (vì ED là tiếp tuyến của đường tròn (A)).
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên tg AHC = AB/AC.
Vì ADE là tam giác đối xứng với tam giác ABC qua đường thẳng AH, nên tg ADE = AB/AE.
Vậy AB/AC = AB/AE.
Từ đó suy ra AC = AE.

3) Đường thẳng EB cắt đường tròn (A) tại hai điểm E và K. Vì E là điểm đối xứng của C qua A, nên đường thẳng EB là đường đối xứng của đường thẳng AC qua đường tròn (A). Vì vậy, đường thẳng EB tiếp xúc với đường tròn (A) tại điểm E.

4) Gọi I là điểm cắt của đường thẳng AE và đường tròn (A).
Vì AE là đường đối xứng của AC qua đường tròn (A), nên I là điểm đối xứng của C qua đường tròn (A).
Vì E là điểm đối xứng của C qua A, nên EK là đường đối xứng của CK qua đường tròn (A).
Vì vậy, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EDK.