Xét các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn, a³+b³+c³+d³=a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=a⁵+b⁵+c⁵+d⁵, Chứng minh : a=b=c=d

Để chứng minh a = b = c = d, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử a ≠ b (1)

Vì a, b, c, d là các số thực dương, ta có a > b.

Từ (1), ta có a³ > b³ (2)

Vì a³ + b³ + c³ + d³ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴, ta có:

a⁴ - a³ + b⁴ - b³ + c⁴ + d⁴ - c³ - d³ = 0

(a⁴ - a³) + (b⁴ - b³) + (c⁴ - c³) + (d⁴ - d³) = 0

a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) = 0

Vì a > b, ta có a³(a - 1) > b³(b - 1)

Vì c, d là các số thực dương, ta có c³(c - 1) > 0 và d³(d - 1) > 0

Do đó, a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) > 0

Điều này mâu thuẫn với a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) = 0

Vậy giả sử ban đầu a ≠ b là sai.

Tương tự, ta có thể chứng minh a ≠ c, a ≠ d, b ≠ c, b ≠ d, c ≠ d là sai.

Do đó, ta kết luận a = b = c = d.