Xét các số thực dương thỏa mãn: a³+ b³+ c³+ d³ = a⁴+b⁴+ c⁴+d⁴= a⁵+b⁵+c⁵+d⁵, chứng minh : a= b =c =d

Để chứng minh a = b = c = d, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử a ≠ b, ta sẽ chứng minh rằng a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ > a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴.

Vì a ≠ b, ta có thể giả sử a > b mà không mất tính tổng quát.

Ta có:
a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ - (a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴)
= (a⁴ - b⁴) + (a³ - b³) + (a³ + b³ - c³ - d³) + (a⁴ + b⁴ - c⁴ - d⁴)
= (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³) + (a³ + b³ - c³ - d³) + (a⁴ + b⁴ - c⁴ - d⁴)
> 0 + 0 + 0 (vì a > b, a³ + a²b + ab² + b³ > 0 và a³ + b³ - c³ - d³ > 0)

Vậy ta có a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ > a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴, mâu thuẫn với giả thiết.

Do đó, giả sử a ≠ b là sai, tức là a = b.

Tương tự, ta có thể chứng minh a = c và a = d.

Vậy ta kết luận rằng a = b = c = d.