Giả sử số chính phương cần chứng minh là x. Ta có thể viết x dưới dạng x = 5k + r, với k là một số nguyên và r là số dư khi x chia cho 5.

Nếu r = 0, tức là x chia hết cho 5, thì x = 5k + 0 = 5k. Vì x là số chính phương, nên x = m^2 với m là một số nguyên. Ta có x = (5k)^2 = 25k^2, vậy x chia hết cho 5.

Nếu r = 1, tức là x chia cho 5 dư 1, thì x = 5k + 1. Vì x là số chính phương, nên x = m^2 với m là một số nguyên. Ta có x = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1, vậy x chia cho 5 dư 1.

Nếu r = 4, tức là x chia cho 5 dư 4, thì x = 5k + 4. Vì x là số chính phương, nên x = m^2 với m là một số nguyên. Ta có x = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1, vậy x chia cho 5 dư 4.

Vậy, ta đã chứng minh rằng một số chính phương khi chia cho 5 cho một trong hai số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4.