a) Ta có ΔAHM ~ ΔAHC (cùng có góc vuông và góc nhọn bằng nhau), suy ra:
$\frac{HM}{HC}=\frac{AH}{AC}$
Vì ΔABC vuông tại A nên $\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AH}$
$\Rightarrow \frac{HM}{HC}=\frac{AB}{AH}$
$\Rightarrow \frac{HM}{AB}=\frac{HC}{AH}$
$\Rightarrow \frac{HM}{AB}=\frac{HK}{AC}$
Vậy MN song song với HK.

b) Ta có $\angle MHN = \angle BAC$ (cùng là góc nhọn)
$\angle MNC = \angle HAC$ (cùng là góc vuông)
$\Rightarrow \angle MNC = \angle MHN$
$\Rightarrow MN \parallel HK$
Vì MN song song với HK nên MNCK là hình thang cân.

c) Ta có $\angle MHN = \angle BAC$ (cùng là góc nhọn)
$\angle MNO = \angle HAC$ (cùng là góc vuông)
$\Rightarrow \angle MNO = \angle MHN$
$\Rightarrow MN \parallel HK$
Vậy MN cắt AH tại O và CO cắt AK tại D.
Ta có $\frac{AD}{AK}=\frac{CO}{CO+AK}$
$\Rightarrow \frac{AD}{AK}=\frac{CO}{CK}$
Vì I là trung điểm của AK nên $\frac{AD}{AK}=\frac{CO}{CK}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow AK=3AD$
Đpcm.