Để chứng minh rằng một số chính phương khi chia cho 8 cho một trong hai số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử tồn tại một số chính phương khi chia cho 8 có số dư là 2 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 6 hoặc 7.

- Nếu số chính phương chia cho 8 có số dư là 2, tức là số đó có dạng 8k + 2 (với k là một số nguyên). Khi đó, ta có:

(8k + 2)^2 = 64k^2 + 32k + 4 = 8(8k^2 + 4k) + 4

Ta thấy rằng 64k^2 + 32k + 4 chia hết cho 8 và có số dư là 4, không phải là 0, 1 hoặc 4. Vậy giả thuyết này là sai.

- Tương tự, ta có thể chứng minh cho trường hợp số chính phương chia cho 8 có số dư là 3, 5, 6 hoặc 7.

Vậy, ta kết luận rằng một số chính phương khi chia cho 8 sẽ có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4.