Giả sử x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x^2 + y^2 chia hết cho 3. Ta cần chứng minh rằng xy chia hết cho 9.

Ta có 3 trường hợp xảy ra:
1. x chia hết cho 3 và y chia hết cho 3.
2. x chia hết cho 3 và y không chia hết cho 3.
3. x không chia hết cho 3 và y chia hết cho 3.

Trường hợp 1: x chia hết cho 3 và y chia hết cho 3.
Khi đó, x = 3a và y = 3b (với a, b là các số tự nhiên).
Thay vào x^2 + y^2, ta có:
x^2 + y^2 = (3a)^2 + (3b)^2 = 9a^2 + 9b^2 = 9(a^2 + b^2).
Vì x^2 + y^2 chia hết cho 3, nên 9(a^2 + b^2) chia hết cho 3.
Do đó, a^2 + b^2 chia hết cho 3.

Trường hợp 2: x chia hết cho 3 và y không chia hết cho 3.
Khi đó, x = 3a và y = 3b + 1 (với a, b là các số tự nhiên).
Thay vào x^2 + y^2, ta có:
x^2 + y^2 = (3a)^2 + (3b + 1)^2 = 9a^2 + 9b^2 + 6b + 1 = 9(a^2 + b^2) + 6b + 1.
Vì x^2 + y^2 chia hết cho 3, nên 9(a^2 + b^2) + 6b + 1 chia hết cho 3.
Do đó, 6b + 1 chia hết cho 3.
Từ đó, suy ra 6b chia hết cho 3, tức là b chia hết cho 3.
Vậy y = 3b + 1 chia hết cho 3, suy ra y chia hết cho 3.

Trường hợp 3: x không chia hết cho 3 và y chia hết cho 3.
Tương tự như trường hợp 2, ta có x chia hết cho 3 và y không chia hết cho 3.

Từ cả 3 trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng nếu x^2 + y^2 chia hết cho 3, thì cả x và y đều chia hết cho 3.
Do đó, xy chia hết cho 9.