Để chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông, ta cần chứng minh rằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh còn lại.

1) Ta có AB = 15cm, AC = 20cm, AH = 12cm.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHG, ta có:
AG^2 = AH^2 - HG^2
AG^2 = 12^2 - (15/2)^2
AG^2 = 144 - 225/4
AG^2 = 576/4 - 225/4
AG^2 = 351/4
AG = √(351/4)
AG ≈ 9.37cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AGC, ta có:
AC^2 = AG^2 + GC^2
20^2 = (9.37)^2 + GC^2
400 = 87.56 + GC^2
GC^2 = 400 - 87.56
GC^2 = 312.44
GC = √312.44
GC ≈ 17.67cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BGC, ta có:
BC^2 = BG^2 + GC^2
BC^2 = 15^2 + (17.67)^2
BC^2 = 225 + 312.44
BC^2 = 537.44
BC = √537.44
BC ≈ 23.18cm

Vậy, ta có AB^2 + AC^2 = BC^2
225 + 400 = 537.44
625 = 537.44

Vì tổng bình phương của hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh còn lại, nên tam giác ABC là tam giác vuông.

2) Ta có AH = 12cm, BH = 16cm, CH = 9cm.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHG, ta có:
AG^2 = AH^2 - HG^2
AG^2 = 12^2 - (16/2)^2
AG^2 = 144 - 64
AG^2 = 80
AG = √80
AG ≈ 8.94cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AGC, ta có:
AC^2 = AG^2 + GC^2
AC^2 = (8.94)^2 + (9)^2
AC^2 = 79.8436 + 81
AC^2 = 160.8436
AC = √160.8436
AC ≈ 12.68cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BGC, ta có:
BC^2 = BG^2 + GC^2
BC^2 = 16^2 + (9)^2
BC^2 = 256 + 81
BC^2 = 337
BC = √337
BC ≈ 18.36cm

Vậy, ta có AH^2 + CH^2 = BC^2
144 + 81 = 337
225 = 337

Vì tổng bình phương của hai cạnh góc vuông không bằng bình phương của cạnh còn lại, nên tam giác ABC không phải là tam giác vuông.

3) Ta có AH = 30cm, BH = 36cm, CH = 25cm.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHG, ta có:
AG^2 = AH^2 - HG^2
AG^2 = 30^2 - (36/2)^2
AG^2 = 900 - 324
AG^2 = 576
AG = √576
AG = 24cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AGC, ta có:
AC^2 = AG^2 + GC^2
AC^2 = (24)^2 + (25)^2
AC^2 = 576 + 625
AC^2 = 1201
AC = √1201
AC ≈ 34.64cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BGC, ta có:
BC^2 = BG^2 + GC^2
BC^2 = 36^2 + (25)^2
BC^2 = 1296 + 625
BC^2 = 1921
BC = √1921
BC ≈ 43.84cm

Vậy, ta có AH^2 + BH^2 = BC^2
900 + 1296 = 1921
2196 = 1921

Vì tổng bình phương của hai cạnh góc vuông không bằng bình phương của cạnh còn lại, nên tam giác ABC không phải là tam giác vuông.