Tính giá trị biểu thức

Để tính giá trị biểu thức A, ta thay xyz = 1 vào biểu thức và thực hiện các phép tính:

A = (x²/y² + z² - x²) +( y²/ z² + x² - y²) + (z²/x² + y² - z²)
= (x²/y² + z² - x²) +( y²/ z² + x² - y²) + (z²/x² + y² - z²)
= (x^4 + y^4 + z^4) / (x^2 * y^2) + (x^4 + y^4 + z^4) / (y^2 * z^2) + (x^4 + y^4 + z^4) / (z^2 * x^2) - (x^2 + y^2 + z^2)

Với xyz = 1, ta có:

x^2 * y^2 * z^2 = 1
=> x^4 * y^4 * z^4 = 1

Thay vào biểu thức A:

A = (x^4 + y^4 + z^4) / (x^2 * y^2) + (x^4 + y^4 + z^4) / (y^2 * z^2) + (x^4 + y^4 + z^4) / (z^2 * x^2) - (x^2 + y^2 + z^2)
= (x^4 + y^4 + z^4) * (1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2) - (x^2 + y^2 + z^2)

Với a, b, c là các số thực dương, ta có:

(a + b + c) * (1/a + 1/b + 1/c) ≥ 9

Áp dụng vào biểu thức A:

A = (x^4 + y^4 + z^4) * (1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2) - (x^2 + y^2 + z^2)
≥ 9 * (x^4 + y^4 + z^4) - (x^2 + y^2 + z^2)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x^4 + y^4 + z^4 và giá trị lớn nhất của x^2 + y^2 + z^2.

Với xyz = 1, ta có:

x^4 + y^4 + z^4 ≥ 3√(x^4 * y^4 * z^4) = 3√1 = 3
x^2 + y^2 + z^2 ≥ 3√(x^2 * y^2 * z^2) = 3√1 = 3

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là:

A ≥ 9 * 3 - 3 = 24