Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \( z = x^2 + 2y^2 - 2y + 2xy - 1 \), chúng ta sẽ thực hiện theo những bước sau:

1. **Tìm cực trị của hàm**: Đầu tiên, chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng theo biến \( x \) và \( y \), sau đó giải hệ phương trình để tìm các điểm cực trị.

2. **Tính đạo hàm riêng**:
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 4y - 2 + 2x
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
Đặt hai đạo hàm riêng bằng 0:
\[
2x + 2y = 0 \quad (1)
\]
\[
4y - 2 + 2x = 0 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
x + y = 0 \implies y = -x
\]
Thay vào phương trình (2):
\[
4(-x) - 2 + 2x = 0 \implies -4x - 2 + 2x = 0 \implies -2x = 2 \implies x = -1
\]
Từ đó, suy ra:
\[
y = -(-1) = 1
\]

Vậy chúng ta có một điểm cực trị là \( (x, y) = (-1, 1) \).

4. **Tính giá trị tại điểm cực trị**:
\[
z(-1, 1) = (-1)^2 + 2(1)^2 - 2(1) + 2(-1)(1) - 1
\]
\[
= 1 + 2 - 2 - 2 - 1 = -2
\]

5. **Xác định tính chất của điểm cực trị**:
Để xác định xem điểm này là cực tiểu hay cực đại, chúng ta tính hạng số hạng của ma trận Hessian:
\[
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
\]

Tính các đạo hàm bậc hai:
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2
\]

Ma trận Hessian là:
\[
H = \begin{bmatrix}
2 & 2 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
\]

Tính định thức của Hessian:
\[
\text{det}(H) = (2)(4) - (2)(2) = 8 - 4 = 4 > 0
\]
\( f_{xx} = 2 > 0 \)

Do đó, hàm có cực tiểu tại điểm này.

6. **Kết luận**:
Giá trị nhỏ nhất của hàm \( z = x^2 + 2y^2 - 2y + 2xy - 1 \) là \( -2 \). Giá trị lớn nhất là không xác định (hàm này có thể lớn trên vô cùng nếu x và y không bị giới hạn).