Cho tam giac ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm AB, J là trung điểm AC. Lấy E cho I là trung điểm HE, lấy F cho J là trung điểm HF

a) Ta có AI = IB (do I là trung điểm AB) và AJ = JC (do J là trung điểm AC). Vì tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung trực của BC. Do đó, AH cắt BC tại trung điểm M của BC. Khi đó, ta có AM = MC.

Xét tam giác AHE và tam giác BME:
- HE = EM (do E là trung điểm HE)
- AH = BM (do AH là đường trung trực của BC)
- AE = BE (do I là trung điểm AB)

Từ các đẳng thức trên, ta có thể kết luận rằng tam giác AHE và tam giác BME là hai tam giác đồng dạng (cạnh bằng nhau và góc tương ứng bằng nhau). Do đó, ta có HE = EM và AE = BE. Từ đó, ta suy ra AHBE là hình bình hành.

Tương tự, ta có thể chứng minh AHCF là hình bình hành.

b) Ta có HE = EM và HF = FM (do E và F lần lượt là trung điểm của HE và HF). Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Khi đó, ta có góc HEM = góc HFM = 90 độ.

Do đó, ta có thể kết luận rằng tam giác HEM và tam giác HFM là hai tam giác đồng dạng (cạnh bằng nhau và góc tương ứng bằng nhau). Từ đó, ta suy ra E, A, F thẳng hàng.

c) Ta đã chứng minh được AHBE và AHCF là các hình bình hành. Khi đó, ta có AE || BH và AF || CH. Vì E và F lần lượt là trung điểm của HE và HF, nên ta có E là trung điểm của BH và F là trung điểm của CH.

Do đó, ta có AE = BH và AF = CH. Từ đó, ta suy ra AE = BH = AF = CH. Khi đó, ta có A là trung điểm của EF.