Để biểu thức có giá trị nguyên dương với mọi giá trị của biến a, ta cần tìm điều kiện để biểu thức x^2 - 4x + 10 > 0.

Để giải bất phương trình này, ta sử dụng phương pháp giải bằng định lí Vi-ét.

Định lí Vi-ét cho biết rằng nếu một đa thức bậc 2 có dạng ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm thực thì tổng của hai nghiệm đó bằng -b/a và tích của hai nghiệm đó bằng c/a.

Ở đây, ta có biểu thức x^2 - 4x + 10. Để biểu thức này có nghiệm thực, ta cần xét giá trị của delta (Δ) = b^2 - 4ac.

Trong trường hợp này, a = 1, b = -4 và c = 10. Ta tính delta:

Δ = (-4)^2 - 4(1)(10) = 16 - 40 = -24.

Vì delta âm, nên biểu thức x^2 - 4x + 10 không có nghiệm thực. Do đó, biểu thức này không thể có giá trị nguyên dương với mọi giá trị của biến a.