a) Ta có:
- Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC.
- Gọi O là trung điểm của AH.
- Vì D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC nên DM = HM.
- Ta có: AO = OH (vì O là trung điểm của AH).
- Vậy tam giác ADO và OHC là hai tam giác cân có cạnh chung OD.
- Do đó, ta có: ∠ADO = ∠OHC và ∠AOD = ∠OCH.
- Từ đó suy ra: ∠ADO + ∠AOD = ∠OHC + ∠OCH = 180°.
- Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
- Vì D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC nên DM = HM.
- Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC.
- Vậy tam giác AHM vuông tại M.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHM, ta có: AH² = AM² + HM².
- Vì D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC nên DM = HM.
- Vậy tam giác ADM vuông tại M.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ADM, ta có: AD² = AM² + DM² = AM² + HM².
- So sánh hai phương trình trên, ta có: AH² = AD².
- Vậy AD = AH.
- Do đó, ta có: AD ≥ BC.