Giả sử (x; y) ≠ 1, tức là x và y có ước chung khác 1. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương k sao cho x = ka và y = kb, với (a; b) = 1.

Thay vào điều kiện x⁵ + y chia hết cho x² + y², ta có:
(k⁵a⁵ + k⁵b) chia hết cho (ka)² + (kb)²
⇔ k⁵(a⁵ + b) chia hết cho k²(a² + b²)
⇔ a⁵ + b chia hết cho a² + b²

Vì (a; b) = 1, nên a² + b² > 1. Từ đó suy ra a⁵ + b > a² + b². Như vậy, ta có một số tự nhiên k thỏa mãn a⁵ + b > k(a² + b²).

Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết x⁵ + y chia hết cho x² + y², vì khi thay x = ka và y = kb vào, ta có:
(k⁵a⁵ + k⁵b) chia hết cho (ka)² + (kb)²
⇔ k⁵(a⁵ + b) chia hết cho k²(a² + b²)
⇔ a⁵ + b chia hết cho a² + b²

Vậy giả thiết ban đầu là sai, suy ra (x; y) = 1.