Chứng minh 6a + b + 1 là bình phương của 1 số nguyên

Ta có đa thức a = 12x^2 - 3y^2 + 8xy + 2x + x

Đề bài yêu cầu chứng minh rằng 6a + b + 1 là bình phương của một số nguyên dương.

Thay x = a và y = b vào đa thức a, ta có:

a = 12a^2 - 3b^2 + 8ab + 2a + a

= 12a^2 - 3b^2 + 8ab + 3a

= 12a^2 + 8ab + 3a - 3b^2

= (12a^2 + 8ab + 3a) - 3b^2

= a(12a + 8b + 3) - 3b^2

Vì a = 0, nên ta có:

a = -3b^2

6a + b + 1 = 6(-3b^2) + b + 1

= -18b^2 + b + 1

Để chứng minh rằng 6a + b + 1 là bình phương của một số nguyên dương, ta cần chứng minh rằng đa thức -18b^2 + b + 1 là bình phương của một số nguyên dương.

Để làm điều này, ta cần tìm một số nguyên dương k sao cho:

-18b^2 + b + 1 = k^2

Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, ta có thể sử dụng phương pháp kiểm tra bằng cách thử các giá trị của b.

Khi thử b = 1, ta có:

-18(1)^2 + 1 + 1 = -18 + 1 + 1 = -16

Khi thử b = 2, ta có:

-18(2)^2 + 2 + 1 = -72 + 2 + 1 = -69

Khi thử b = 3, ta có:

-18(3)^2 + 3 + 1 = -162 + 3 + 1 = -158

Khi thử b = 4, ta có:

-18(4)^2 + 4 + 1 = -288 + 4 + 1 = -283

Khi thử b = 5, ta có:

-18(5)^2 + 5 + 1 = -450 + 5 + 1 = -444

Khi thử b = 6, ta có:

-18(6)^2 + 6 + 1 = -648 + 6 + 1 = -641

Khi thử b = 7, ta có:

-18(7)^2 + 7 + 1 = -882 + 7 + 1 = -874

Khi thử b = 8, ta có:

-18(8)^2 + 8 + 1 = -1152 + 8 + 1 = -1143

Khi thử b = 9, ta có:

-18(9)^2 + 9 + 1 = -1458 + 9 + 1 = -1448

Khi thử b = 10, ta có:

-18(10)^2 + 10 + 1 = -1800 + 10 + 1 = -1789

Từ các kết quả trên, ta thấy rằng không có giá trị của b nào khi thử thỏa mãn phương trình -18b^2 + b + 1 = k^2.

Vì vậy, không thể chứng minh rằng 6a + b + 1 là bình phương của một số nguyên dương.