Cho tam giác ABC cân tại A

a) Ta có:
- Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao và đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, HK là đường trung bình của tam giác ABC và AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có AKBH là hình thang.
- Vì AH vuông góc với HE và AB cắt HE tại E, nên ta có AB // HE. Tương tự, ta có AC // HK. Vậy ABEC là hình thoi.

b) Ta có:
- Vì HK là đường trung bình của tam giác ABC, nên HK cắt AC tại điểm M sao cho AM = MC.
- Vì ABEC là hình thoi, nên AE song song với BC và AH vuông góc với BC. Do đó, ta có AH vuông góc với AE và AH cắt AE tại điểm D.
- Vì AD vuông góc với AH và HK cắt AH tại điểm D, nên ta có AD // HK.
- Vì AKBH là hình thang, nên ta có AK // BH.
- Từ AK // BH và AD // HK, suy ra tam giác AHD và tam giác BHK đồng dạng.
- Vậy, ta có AD = BH.

c) Ta có:
- Vì HN vuông góc với AB và AI là đường trung tuyến của tam giác ANB, nên ta có HI // BN và HI = 1/2BN.
- Vì B là trung điểm của HM, nên ta có BM = BH.
- Vì AI là đường trung tuyến của tam giác ANB, nên ta có AI = 1/2NB.
- Vì N là trung điểm của AB, nên ta có AN = NB.
- Từ đó, ta có HI = 1/2BN = 1/2AN = AI.
- Vì HI = AI và NM là đường thẳng nối trung điểm của AB và HN, nên ta có NM vuông góc với HI.